2.    Otros planteamientos acerca del número natural

2.1 Constance K. Kamii

Las aportaciones de Constance Kamii, son el resultado del trabajo directo en el salón   de  clases   en   una  estrecha   colaboración   con   los   docentes;   y,   si   bien fundamentadas en la teoría piagetiana, tienen un enfoque evidentemente didáctico.

Kamii  (1994),  pone  en  práctica  un  programa  de  enseñanza,  como  una propuesta para sustituir la enseñanza tradicional principalmente con dos tipos  de actividades: situaciones de la vida diaria y juegos colectivos.

Considere que los niños reinventan la aritmética por construirla ‘desde adentro’ al inventar ellos mismos su conocimiento lógico matemático y lo único transmisible son los signos matemáticos convencionales; la parte más superficial de la aritmética.

Su trabajo fue desarrollado en una escuela pública de Chicago, con un grupo de primer grado y la participación de la maestra del grupo. La duración fue de todo el curso. Las decisiones en cuanto a las actividades a desarrollar en clase fueron tomadas de manera conjunta entre investigadora y docente.

Para fundamentar sus estudios, Kamii toma de la teoría de Piaget el considerar el número como una estructura mental que el niño construye.

Cada individuo construye las relaciones que componen el conocimiento lógico matemático: éste progresa mediante la coordinación de relaciones simples creadas anteriormente entre distintos objetos. Todo esto tiene su fuente de desarrollo internamente en el sujeto.

Lo anterior se lleva a cabo mediante abstracción reflexionante, es decir:

La construcción que es a cabo por el pensamiento en vez de ser un enfoque sobre algo ya existente en los objetos.

 

Kamii, 1994, p.22

 

Kamii, utiliza algunas tareas típicas piagetianas en su investigación, referentes a la conservación y la correspondencia, es de esta manera como confirma y amplía algunas de las aportaciones de Piaget, como son:

a) El número no es propiedad de un conjunto, es una idea.

 

b) Si un niño tiene estructura jerárquica de número puede usarla en diversas situaciones.

c) El   de número surge de la capacidad natural del niño para pensar.

 

Hasta aquí pareciera que , el construir rl concepto es únicamente trabajo del niño y lo es, pero entonces ¿Cuál es el trabajo del docente? Kamii (1994), propone propiciar un ambiente basado en la interacción social que le permita al alumno desarrollar su capacidad natural de pensar lógicamente.

Bajo este propósito, las actividades en clase, basadas en situaciones cotidianas y juegos colectivos tienen como ventaja:

a) Dar una razón propia para hacer aritmética. A los niños les resulta más significativo aprender, por ejemplo, distintas formas de sumar para poder jugar con sus amigos, que por complacer a la maestra.

b) Hay retroalimentación de los demás compañeros y de ellos mismos. Al estar participando en un juego, si no se llega a la respuesta correcta, los demás compañeros tienen la oportunidad de ‘ayudar’. También tienen la oportunidad de comprobar que están pensado por sí mismos y se mantienen manualmente activos al existir la posibilidad de superar a ser superado por el oponente.

Lo expuesto en este apartado permite sustentar la manera de organizar algunas de las actividades realizadas en las sesiones de enseñanza que forman parte del método. Se ahonda sobre ello con Fuson.

2.2 Karen Fuson

 

Esta investigadora, difiere con Piaget y Kamii, en cuanto al desarrollo del número, al estudiarlo desde al análisis de la variedad de significados y usos de las palabras numéricas, en las que incluye: el conocimiento de la secuencia convencional, su uso en el conteo, en los símbolos numéricos, en contextos de medida, al indicar una posición relativa y para categorizar o codificar (Fuson y Hall, 1983).

 

Los  sujetos  de  su  investigación  son  niños  pequeños  quienes  tienen  que enfrentar esta variedad de significados atribuibles al número natural: cardinal, ordinal y medida.

Fuson (1988), distingue los siguientes niveles de desarrollo en la elaboración de la secuencia numérica:

Cuerda. Se producen secuencias desde uno pero pueden no estar diferenciadas y en algunas ocasiones establecer correspondencia no intencionada.

Cadena irrompible. Se produce una secuencia diferenciada con la que pueden establecerse correspondencia uno a uno y adquirirse reglas de cardinalidad y ordinalidad. El niño desarrolla la habilidad de conteo ascendente (desde a), lo cual le permite resolver adiciones y sustracciones simples, hacer conjuntos de determinada cantidad de objetos, encontrar el orden de alguna entidad, hacer una cantidad de n unidades, utilizar procedimientos de contar-todo, contar-parte y contar- desde, para resolver adiciones y sustracciones.

Cadena  rompible.  En  este  nivel  se  puede  iniciar  el  conteo  desde  a.  Se establecen relaciones antes- después, los niños realizan conteo ascendente desde a hasta b utilizando estas relaciones, sin embargo, en la sustracción pueden usar el conteo desde b sin mantener la operación cardinal hasta a, es decir, cuentan regresivamente de b hasta a sin mantener el curso.

Cadena numerable. El niño puede realizar conteo continuo manteniendo el curso, puede contar desde a hasta b y en el caso de la sustracción, contar desde  b hasta a manteniendo el curso mediante un conteo regresivo correcto.

Cadena bidireccional. Los sujetos cuentan de manera ascendente o descendente desde cualquier palabra numérica cambiando de dirección fácilmente.

Las palabras de secuencia numérica se producen por diversas situaciones, de manera espontánea o porque se le pide al niño recitarlas individualmente o en grupo; los propósitos son diversos, por ejemplo, como práctica la conservación del tiempo, esta  actividad  puede  llevarse     a  cabo  en  contextos  de  conteo,  cardinalidad  y ordinalidad. La adquisición de la secuencia hasta 100 lleva desde los 2 hasta los 6 años Aproximadamente.  Las  secuencias  producidas  por los  niños  indican  que saben  el patrón  de  repetición  del  1  al  9,  aunque  no  hay  evidencia  de  que  entendieran  la estructura del 13 al 19 mientras las están aprendiendo; parece no haber una lista estructurada hasta el 20 ó 29, después de allí se hace evidente la estructura de la decena.

Los planteamientos de Karen Fuson ayudan en este estudio al analizar algunas de las acciones de los niños del estudio de casos en las sesiones de enseñanza.

 

2.3 Arthur J. Baroody

Baroody (1988), no considero al número un concepto que se adquiere o no, sino como la consecuencia de la evolución de experiencias de conteo, por lo tanto, éste es fundamental para la comprensión del número por parte del niño.

Basado en la teoría cognitiva, sostiene que los niños llegan a la escuela con una gran cantidad de conocimientos informales aprendidos por la familia, los amigos, la televisión y en juegos. A estos conocimientos los llama matemática informal.

Esta matemática es el paso intermedio entre su conocimiento intuitivo, limitado e impreciso y el impartido en la escuela, basado en símbolos abstractos. Por lo tanto:

La matemática informal es fundamental para el dominio de técnicas básicas y para enfrentarse con éxito a la matemática más avanzada.

Baroody, 1998, p.47

 

El sentido natural que los niños tienen del número les permite distinguir entre pequeños  conjuntos  de  objetos  con  limitaciones,  es  decir,  aun  cuando  parezcan capaces de tratar diferente conjunto de tres y cuatro objetos, esto no implica que sepan que cuatro es más que tres y por ello probablemente no puedan establecer un orden de magnitud.

Su sentido natural les permite también, reconocer si una colección ha sido alterada y dar cuenta de que añadir un objeto hace que sean más así como quitar uno hace que sean menos.

Una limitante a esta matemática informal e intuitiva aparece a medida que los números se hacen más grandes, lo cual requiere un esfuerzo mental mayor por parte del niño y sus procedimientos informales son cada vez más propensos al error.

Esta limitación es superado con la matemática formal, que permite a los niños pensar de manera abstracta y abordar de manera eficaz los   planteamientos con números grandes.

 

Con estas consideraciones Baroody (1988) sugiere basar la enseñanza en los conocimientos informales de los niños, considerándolos desde la planificación de la misma para, además de aumentar las probabilidades de éxito en el aprendizaje escolar, la enseñanza formal sea significativa e interesante.

Una implicación respecto a la enseñanza es que, si se deja de lado lo anterior, las lagunas existentes entre el conocimiento informal y la instrucción formal, serán la forma de explicar los problemas de aprendizaje en los niños.

 

a) Técnicas de conteo

Baroody (1988), distingue cuatro técnicas de conteo dentro de la matemática informal, menciona que, con la práctica éstas se van haciendo más automáticas y su ejecución requiere menos atención. A continuación se explican cada una de ellas:

 

1) Generar los nombres de ls números en el orden adecuado.

2) Aplicar una por una las palabras de la secuencia numérica a cada objeto de un conjunto,  es  decir,  enumerar  objetos  coordinando  palabra  numérica  con  ebjeto mediante una correspondencia biunívoca entre etiqueta y elemento del conjunto.

3) Valor cardinal. Asociar la serie numérica con la definición de cantidad de un conjunto.

4) Magnitud. El lograr las anteriores permite a los niños comprender que la posición en la secuencia define la magnitud de número.

Aún cuando contar oralmente es equiparable a contar de memoria, el aprendizaje de ciertas reglas tiene un papel primordial para la serie numérica, a medida que ésta es más familiar al niño puede citar automáticamente el número que sigue y posteriormente, mencionar también el anterior.

Una vez conseguido el aprendizaje de la serie numérica, un nuevo reto es la enumeración de objetos. Coordinar la mención de la serie numérica con los objetos por contar se torna difícil cuando se trata de colecciones grandes y/o desordenadas, lo cual implica desarrollar estrategias para llevar la cuenta de qué se ha contado y qué no.

A los niños les lleva entender que el enumera una colección de objetos es un fin en sí mismo y decir el total de elementos en el conjunto es mencionar la ‘etiqueta’ puesta al último objeto, sin necesidad de mencionarlos todos nuevamente.

 

Un término dado puede ser al mismo tiempo, un número para contar y el nombre de un conjunto.

Las dificultades a superar en el conteo detectadas por Baroody (1988) son:

 

a) Contar oralmente, el problema de las decenas; lo cual les impide ampliarse a la parte regida por las reglas, los números más de 20 ó 30.

b) Elaboraciones de la serie numérica; citar el número anterior es más difícil que el siguiente. Contar regresivamente requiere conocer las relaciones existentes entre un número y su anterior.

c) En la enumeración, hay tres tipos principales de errores: de partición, llenar control inexacto de objetos contados y no contados; de secuencia, generar una serie numérica incorrecta; y errores de coordinación, no coordinar la elaboración de la serie numérica con el proceso de control de los elementos contados.

Lo anterior implica para la enseñanza cuestiones como dominio de una técnica por parte de los niños, hasta ser automática, apoyo con experiencias concretas y ejercicios regulares con actividades de interés para los alumnos.

 

b) Desarrollo del número

Particularmente en cuanto a este concepto, Baroody (1988) menciona la existencia de la teoría de Piaget; sin embargo, coincide con autores como Gellman y Gallister, entre otros, en un punto de vista basado en contar.

…La comprensión del número evoluciona lentamente como resultado de las experiencias de conteo.

Baroody, 1988, p.109

 

Inicialmente, contar es un acto puramente verbal y sin significado. Más adelante, los niños van superando ciertos principios.

Cuando se dan cuenta que contar requiere repetir los nombres de los números en un mismo orden cada vez, llegando al principio de orden estable.

Posteriormente, arriban al principio de correspondencia al establecer una relación entre una ‘étiqueta’ y un elemento. Esto conlleva no omitir elementos o contarlos dos veces y distinguir entre los elementos que ya han sido contados de los que no, para evitar contarlos dos veces.

El principio de unidad se caracteriza por asignar una y sólo una ‘etiqueta’ a cada elemento de un conjunto al contarlo.

Al dejar atrás la importancia de las propiedades físicas de los objetos y clasificarlos como cosas se han llegado al principio de abstracción.

Cuando el niño puede determinar que el último número asignado a un conjunto es  la  cantidad  contenida  en  él,  independientemente  del  orden  físico  entre  sus elementos y los cambios en su distribución, se ha llegado al principio del valor cardinal.

Finalmente, el niño se da cuenta de que el orden en que estén dispuestos los objetos y orden en que son enumerados no tiene importancia al determinar el valor cardinal del conjunto, éste es el principio de irrelevancia del orden.

En contextos más complejos y complicados, los conceptos de equivalencia y no  equivalencia  contribuyen  a  determinar  si  dos  conjuntos  son  iguales,  si  son diferentes el niño puede ordenarlos según su magnitud (por ejemplo, de mayor a menor).

El papel que desempeña el conteo con los dedos es fundamental para el niño aprenda a diferenciar cantidades iguales, cantidades distintas y más.

Con el desarrollo de los conceptos arriba mencionados por medio de repetidas experiencias de conteo, los niños llegan a la conservación de la cantidad superando la percepción.

Por lo expuesto hasta aquí, se puede concluir que:

…Contar  es,  más  que  igualar,  la  vía  natural  de  los  niños  para  llegar  a  comprender las relaciones de equivalencia y orden con números no intuitivos.

Baroody, 1988, p.115

Las aportaciones consideradas hasta aquí nos permiten tener una visión más amplia en  cuanto  a la  construcción  del  número  natural  y nos  da elementos  para explicar parte del método y del análisis de los resultados obtenidos en este estudio.

 

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